☛* Événement mystère

Énoncé

On considère l'ensemble \(\Omega=\{a\ ;b\ ;c\ ;d\ ;e\}\) qui représente l'univers d'une expérience aléatoire. Déterminer les événements \(A\) et \(B\) de \(\Omega\) sachant que :

• \(\overline{B}=\{a\ ;d\ ;e\}\)
  
• \(A\cap B=\{b\}\) 
  
• \(A\cup B=\{a\ ;b\ ;c\ ;e\}\)
  

Solution

\(\overline{B}=\{a\ ;d\ ;e\}\) et \(\overline B = \Omega \backslash B\). Donc l'ensemble \(B\) contient les éléments de \(\Omega\) qui ne sont pas dans \(\overline B\) c'est-à-dire : \(B=\{b\ ;c\}\).

Étant donné que \(A\cup B=\{a\ ;b\ ;c\ ;e\}\) et que \(a\) et \(e\) ne sont pas des éléments de \(B\), on peut en conclure que \(a\) et \(e\) sont des éléments de \(A\).
De plus, comme  \(A\cap B=\{b\}\), on en conclut que \(b\) est un élément commun de \(A\) et de \(B\) et que \(c\) n'est un élément que de \(B\).

Ainsi : \(A=\{a\ ;b\ ;e\}\)

Conclusion : \(A=\{a\ ;b\ ;e\}\) et \(B=\{b\ ;c\}\).